Natürliche Zahlen

Auf dem Gemälde ist eine Brücke zu sehen, sind zwei Kirchen abgebildet und drei Personen stehen am linken Bildrand vor dem ersten Pfahl. {1, 2, 3, 4, 5, ...} beschreibt die Menge der natürlichen Zahlen. Der italienische Mathematiker Giuseppe Peano (* 27. August 1858 in Spinetta, Piemont; † 20. April 1932 in Turin) hat 1889 für sie ein System von fünf Axiomen vorgeschlagen:

Die Menge ; der natürlichen Zahlen ist eine Menge mit folgenden Eigenschaften:

1.      1 ist eine natürliche Zahl.

2.      Jeder natürlichen Zahl n ist genau eine natürliche Zahl N(n) zugeordnet, die der Nachfolger von n genannt wird.

3.      1 ist kein Nachfolger.

4.      Sind die natürlichen Zahlen n, m verschieden, so sind auch ihre Nachfolger N(n), N(m) verschieden.

5.      (Induktionsaxiom) Enthält eine Menge M natürlicher Zahlen die Zahl 1 und weiters mit jeder natürlichen Zahl n auch ihren Nachfolger N(n), so ist M bereits die Menge aller natürlichen Zahlen.

Diese Axiome bilden einen möglichen Ausgangspunkt zur Beschreibung der gesamten Mathematik. Das Induktionsaxiom bildet die Grundlage der Beweistechnik der vollständigen Induktion. Bertrand Russel hat darauf hingewiesen, dass durch dieses Axiomensystem nicht nur die natürlichen Zahlen, sondern sogar alle abzählbaren Zahlensysteme definiert werden können. „Abzählbar“ heißt dabei, dass diese Zahlensysteme gleich viele Elemente wie die natürlichen Zahlen haben. Eine dazu gleichwertige Aussage wäre, dass diese Zahlensysteme durch Umbenennung der natürlichen Zahlen erhalten werden können.

Als Beispiel nehmen wir die rationalen Zahlen = die Menge aller Bruchzahlen, und schreiben sie wie am Bild anbei auf.

In diesem Schema kommen sicher alle möglichen Bruchzahlen vor. Werden nun die Brüche in der Reihenfolge der Pfeile nummeriert, wobei alle ungekürzten Brüche übersprungen werden, so ergibt sich eine Abzählung aller (positiven) rationalen Zahlen. Wird nach jeder positiven Zahl auch die jeweilige negative eingefügt, so ergibt sich die Folge {1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4, ...}. In dieser Art und Weise kann ich alle rationalen Zahlen abzählen, es gibt also gleich viele natürliche wie rationale Zahlen. Dieses Verfahren nennt sich das 1. Cantorsche Diagonalverfahren.
Im Studium der Technischen Mathematik zählen solch elementare Aussagen zu den Grundlagen, in Speziallehrveranstaltungen über mathematische Logik kann solches Wissen aber (fast beliebig) vertieft werden. So ist die Angabe, also die Existenz, einer Menge, die den Peanoschen Axiomen genügt, aus den grundlegenden mengentheoretischen Axiomen nicht trivial.