Mengen

Auf Francesco Guardis Gemälde sind einige Gebäude, mehrere Gondeln und viele Menschen zu sehen. All diese Ansammlungen von Objekten lassen sich als Mengen beschreiben. Der deutsche Mathematiker Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (* 3. März 1845 in Sankt Petersburg; † 6. Januar 1918 in Halle (Saale)) formulierte nämlich folgende Definition einer Menge:
„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“
Cantor gilt als Begründer der Mengenlehre. Dabei geht es um folgende Begriffe: Die Vereinigung von zwei Mengen A und B ist jene Menge, die alle Elemente aus A und alle Elemente aus B enthält. Der Durchschnitt zweier Mengen A und B besteht aus all jenen Elementen, die sowohl in A also auch in B liegen. Eine Menge B heißt Teilmenge einer Menge A, wenn jedes Element aus B auch in A enthalten ist. Die leere Menge {} ist jene Menge, welche kein Element enthält. So könnten dann z.B. auch die natürlichen Zahlen konstruiert werden. Dabei werden folgende Identifizierungen vorgenommen: 1 = {}, 2 = { {} } = {1} , 3 = { {}, {{}} } = {1, 2}, u.s.w. . Neben diesen Begriffen und Operationen ist auch das Auswahlaxiom sehr fundamental. Dieses besagt, dass aus beliebig vielen Mengen je ein Element für eine neue Menge ausgewählt werden kann.
Cantor beschäftigte sich auch mit dem Begriff des Unendlichen. So stammt von ihm das 1. Cantorsche Diagonalverfahren, mit dem er bewies, dass es gleich viele natürliche Zahlen wie rationale Zahlen (also Bruchzahlen) gibt. Jede Menge, deren Elemente mit den natürlichen Zahlen durchnummeriert werden kann, heißt abzählbar unendlich. Allgemein werden Mengen höchstens abzählbar genannt, wenn sie entweder endlich oder abzählbar unendlich sind. Entsprechend gibt es überabzählbare Mengen. Ein Beispiel dafür sind die reellen Zahlen, wie mit dem 2. Cantorschen Diagonalverfahren gezeigt werden kann.
Die Cantorsche Definition einer Menge führt, gerade im Hinblick auf den Begriff der Unendlichkeit, bald zu Problemen. So gilt trivialerweise, dass jede Menge A Teilmenge von sich selbst ist. Denn jedes Element einer Menge A ist klarerweise in A enthalten. Aber die Menge M aller Mengen, die sich selbst nicht als Teilmenge enthalten, führt zu folgendem Paradoxon: Wäre M Teilmenge von M, so dürfte laut Definition M nicht in M enthalten sein. Und umgekehrt müsste M in M aufgenommen werden, wenn M nicht Teilmenge von M wäre. Eine Lösung dieses Paradoxons ist nur mit einer besseren Definition des Begriffes Menge, also mit anderen Axiomen, möglich. Eine andere Lösung wäre die Erweiterung des Mengenbegriffes. Solche Erweiterungen bieten oft eine Lösung zu Paradoxa. Die gesamte Mathematik kann auf der Mengenlehre aufgebaut werden, wie in einer Spezialvorlesung gezeigt wird.

Vorlesung Mengenlehre: URL: http://tuwis.tuwien.ac.at/zope/_ZopeId/93075046A20rnN7wF90/tpp/lv/lva_html?num=108002&sem=2006W 
Vorlesung Mengenlehre 2: URL: http://tuwis.tuwien.ac.at/zope/_ZopeId/93075046A20rnN7wF90/tpp/lv/lva_html?num=108003&sem=2007S